[转载]浅谈算法——Splay

原文作者:Wolfycz- 博客园
原文地址:浅谈算法——splay
转载已授权,下面正文。


前言
BST(二叉搜索树)十分优秀,但如果被卡成链的话,时间复杂度便成了,基于这种情况,tarjan便发明了splay这一平衡树,通过自身的动态变化,来防止自己变成一条链

操作
1.旋转
旋转式BST基本上都有此操作,不然不叫作旋转式,像fhqtreap那种非旋转式BST则没有该操作。网上大部分将旋转分为两个,ZIG与ZAG

感觉这张图一点都不清楚。。。~~其实是我懒得画一张了~~
左边到右边的是ZIG(x),右边到左边是ZAG(y)
ZIG和ZAG的结合也有几种情况


但其实在了解splay旋转操作的本质之后,这些旋转只需要用一个函数来解决


首先我们需要明白,splay的旋转操作只会影响到3个点

将x旋到根之后,其父亲和其儿子会如上图般变化,其他点都不会受到影响。那么这个旋转如何用一个函数来实现呢?

#define ls(x) tree[x][0]
#define rs(x) tree[x][1]
#define T(x) (rs(f[x])==x)
void move(int x){
    int fa=f[x],son=tree[x][T(x)^1];
    tree[x][T(x)^1]=fa;
    tree[fa][T(x)]=son;
    if (son)    f[son]=fa;
    f[x]=f[fa];
    if (f[x])   tree[f[x]][T(fa)]=x;
    f[fa]=x;
}

首先记录一下当前点的父亲,和其拐角后的儿子节点(先不管有没有父亲和儿子),然后将x的儿子改成fa,把fa的儿子改成son(记得改成拐角状)。

然后判断son是否存在,若存在,则f[son]=fa。

将x的父亲指向fa的父亲,不管fa的父亲是否存在(f[x]为零也可以)。

然后判断是否真正有f[x](连边之后的父亲),如果有,那么将f[x]的儿子指向x,由于此时f[x]和fa的关系未断,因此可以直接用T(fa),最后将fa的父亲指向x即可。


然后这就是单旋操作,双旋呢?其实也就一个函数

void splay(int x){
    while (f[x]){
        if (f[f[x]])    T(x)==T(f[x])?move(f[x]):move(x);
        move(x);
    }
    root=x;
}

如果祖孙三点在一条线上,就先旋父亲,再旋自己,否则就旋自己再旋自己。

至于双旋的作用,你可以画一条链,然后把最下面那个点分别用单旋和双旋旋上来,然后看看这棵树旋完之后长啥样。一般来讲,单旋比双旋快,但是双旋不容易被卡。

准确来讲,我所放的第二个函数,旨在于将一个点splay到root上去,网上有那种旋到某个点下面的写法,但是那样写并不会多些什么操作,而且难写,因此我就写了这种只带一个参数的写法

Attention:move函数中的#define,对于之后的函数一直有效


2.插入
插入一个点的时候,从根节点找起,看要插入的点是要插在当前点的左边还是右边,如果要插在某一边且那一边刚好空着,就直接加进去即可,否则继续找。最后把插入的点splay到根,维护平衡

void insert(int x){
    val[++len]=x;
    if (!root){
        size[root=len]=1;
        return;
    }
    int i=root;
    while (true){
        size[i]++;
        if (x<=val[i]){
            if (!ls(i)){f[ls(i)=len]=i;break;}
            i=ls(i);
        }else{
            if (!rs(i)){f[rs(i)=len]=i;break;}
            i=rs(i);
        }
    }
    splay(len);
}

3.找前驱/后继
由于splay是一棵BST,因此找前驱的话,我们只需要找root的左儿子中,最右边的叶子节点;后继同理

int get_pre(){
    int x=ls(root);
    while (rs(x))   x=rs(x);
    return x;
}
int get_suc(){
    int x=rs(root);
    while (ls(x))   x=ls(x);
    return x;
}

4.查询
由于splay是棵二叉树,记录一下size之后便可以很容易找到排第k个的数是谁了

int find(int x,int i){
    if (!i) return 0;
    if (size[ls(i)]+1==x)   return i;
    if (x<=size[ls(i)])  return find(x,ls(i));
    return find(x-size[ls(i)]-1,rs(i));
}

5.删除
在通过某些特殊的方法得到需要删除的点的编号后(特殊方法什么的根据题意来),现将该点splay到根,如果左右儿子有一个空了,那么直接将那个没空的挪上来就好;否则就将其前驱/后继旋上来,然后判断一下x是new_root的左儿子还是右儿子,将x相应方向的儿子和new_root建立新的关系即可

void Delete(int x){
    splay(x);
    if (!(ls(x)&&rs(x))){
        f[root=ls(x)+rs(x)]=0;
        clear(x);
        return;
    }
    int i=get_pre();
    splay(i);
    size[f[rs(i)=rs(x)]=i]--;
    clear(x);
}

6.区间操作
多了区间操作的splay,为了防止越界,我们可以在最前面和最后面加上两个不动点,每次需要对区间[l,r]进行修改时,我们先把编号为l的点splay到根,再把编号为r+2的点splay到根,在旋的时候,l可能会变成r+2的孙子,我们把l单旋一下即可。这样子的话,l的左儿子就为我们需要求的那段区间了。

双旋的时候,2可能会变成5的孙子,那么我们把2单旋一下即可


splay的基本操作也就这些,下面我们来讲讲一个例题

例题
Tyvj 1728 普通平衡树
Description
您需要写一种数据结构(可参考题目标题),来维护一些数,其中需要提供以下操作:

  1. 插入x数
  2. 删除x数(若有多个相同的数,因只删除一个)
  3. 查询x数的排名(若有多个相同的数,因输出最小的排名)
  4. 查询排名为x的数
  5. 求x的前驱(前驱定义为小于x,且最大的数)
  6. 求x的后继(后继定义为大于x,且最小的数)

Input
第一行为n,表示操作的个数,下面n行每行有两个数opt和x,opt表示操作的序号(1<=opt<=6)

Output
对于操作3,4,5,6每行输出一个数,表示对应答案

Sample Input
10
1 106465
4 1
1 317721
1 460929
1 644985
1 84185
1 89851
6 81968
1 492737
5 493598

Sample Output
106465
84185
492737

HINT
1.n的数据范围:n<=100000
2.每个数的数据范围:[-2e9,2e9]

splay经典板子题,用到之前说的所有操作。删点的话,先找排名,然后找点删除。至于查询排名,由于BST的优美性质,所以判断一下往左右递归即可

/*program from Wolfycz*/
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())    if (ch=='-')  f=-1;
    for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())  x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
    return x*f;
}
inline void write(int x){
    if (x>=10)   write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int N=1e5;
struct Splay{
    #define ls(x) tree[x][0]
    #define rs(x) tree[x][1]
    #define T(x) (rs(f[x])==x)
    int tree[N+10][2],f[N+10],size[N+10],val[N+10],root,len;
    void updata(int x){size[x]=size[ls(x)]+size[rs(x)]+1;}
    void clear(int x){f[x]=size[x]=ls(x)=rs(x)=0;}
    void move(int x){
        int fa=f[x],son=tree[x][T(x)^1];
        tree[x][T(x)^1]=fa;
        tree[fa][T(x)]=son;
        if (son)    f[son]=fa;
        f[x]=f[fa];
        if (f[x])   tree[f[x]][T(fa)]=x;
        f[fa]=x;
        updata(fa),updata(x);
    }
    void splay(int x){
        while (f[x]){
            if (f[f[x]])    T(x)==T(f[x])?move(f[x]):move(x);
            move(x);
        }
        root=x;
    }
    int get_pre(){
        int x=ls(root);
        while (rs(x))   x=rs(x);
        return x;
    }
    int get_suc(){
        int x=rs(root);
        while (ls(x))   x=ls(x);
        return x;
    }
    void Delete(int x){
        splay(x);
        if (!(ls(x)&&rs(x))){
            f[root=ls(x)+rs(x)]=0;
            clear(x);
            return;
        }
        int i=get_pre();
        splay(i);
        size[f[rs(i)=rs(x)]=i]--;
        clear(x);
    }
    void insert(int x){
        val[++len]=x;
        if (!root){
            size[root=len]=1;
            return;
        }
        int i=root;
        while (true){
            size[i]++;
            if (x<=val[i]){
                if (!ls(i)){f[ls(i)=len]=i;break;}
                i=ls(i);
            }else{
                if (!rs(i)){f[rs(i)=len]=i;break;}
                i=rs(i);
            }
        }
        splay(len);
    }
    int find(int x,int i){
        if (!i) return 0;
        if (size[ls(i)]+1==x)   return i;
        if (x<=size[ls(i)])  return find(x,ls(i));
        return find(x-size[ls(i)]-1,rs(i));
    }
    int get_rank(int x){
        int res=0;
        for (int i=root;i;) val[i]<x?res+=size[ls(i)]+1,i=rs(i):i=ls(i);
        return res+1;
    }
    void DELETE(int x){Delete(find(get_rank(x),root));}
    void GETRANK(int x){printf("%d\n",get_rank(x));}
    void RANK_GET(int x){printf("%d\n",val[find(x,root)]);}
    void GET_PRE(int x){printf("%d\n",val[find(get_rank(x)-1,root)]);}
    void GET_SUC(int x){printf("%d\n",val[find(get_rank(x+1),root)]);}
}Tree;
int main(){
    int n=read();
    for (int i=1;i<=n;i++){
        int flag=read(),x=read();
        if (flag==1)    Tree.insert(x);
        if (flag==2)    Tree.DELETE(x);
        if (flag==3)    Tree.GETRANK(x);
        if (flag==4)    Tree.RANK_GET(x);
        if (flag==5)    Tree.GET_PRE(x);
        if (flag==6)    Tree.GET_SUC(x);
    }
    return 0;
}

点我回到主页

发表评论

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com 徽标

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  更改 )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  更改 )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  更改 )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  更改 )

Connecting to %s